Como calcular o tempo de aplicação – Juros compostos

Neste post você vai aprender a calcular o tempo de aplicação, prazo de aplicação, de uma operação financeira no regime de juros compostos.

Podemos fazer este cálculo matemático tanto para uma operação de empréstimo como para uma aplicação financeira, os procedimentos são exatamente os mesmos.

Inicialmente iremos abordar como fazer este cálculo usando a fórmula. Apesar de ser um cálculo financeiro um pouco mais difícil,  iremos apresentar de forma a facilitar sua aprendizagem.

Em seguida iremos fazer o mesmo cálculo usando a calculadora financeira hp 12c.

Vamos tomar como base o mesmo exemplo de uma aplicação única de juros compostos.

 

Calcular o tempo de aplicação usando a fórmula de juros compostos

Suponha que você tenha feito um investimento  no valor total de R$ 10.000,00 por um determinado tempo. Sabendo que você obteve um montante de R$ 10.824,32 e uma taxa de rentabilidade mensal de 2% ao mês, por quanto tempo ficou aplicado seu investimento?

Tomando como base o problema acima vamos calcular o tempo de aplicação usando a fórmula de juros compostos. Neste tipo de cálculo da matemática financeira, após a substituição dos valores, teremos uma equação um pouco mais complexa onde você terá que usar o conceito de logaritmo para encontrar o  prazo da aplicação.

Vamos iniciar a resolução deste problema a partir da fórmula de juros compostos identificando as informações que tempos para encontrar o tempo de aplicação.

 

 

 

Note que tempos a partir do enunciado o valor da aplicação R$ 10.000,00 ( PV) o montante, também chamado de valor futuro (FV), no valor de R$ 10.824,32 e a taxa de juros compostos da aplicação (i) de 2% ao mês. Queremos encontrar o tempo da aplicação (n)

Após identificamos os dados da equação, vamos substituir os valores na fórmula:

Note que a maior dificuldade que você terá para encontrar o tempo de aplicação está no fator dele ser uma exponencial. Temos que o termo (1+0,02) está elevado a n.

Para resolvermos este tipo de situação teremos utilizar uma das propriedades do logaritmo. Pode parecer um pouco complicado, mas que na prática não é tanto assim. Quando resolvermos você verá que é na verdade bastante simples fazer este cálculo.

Dando prosseguimento a resolução do problema, vamos passar os 10000,00 para o outro lado da igualdade e somamos 1+0,02 :

 

 

Note que ao passar para o outro lado da igualdade o valor de 10.000,00 passou dividindo.

Agora vamos fazer a divisão de 10824,32 por 10.000,00:

 

 

E agora, como podemos encontrar qual o valor de n?

Realmente não teremos como encontrar qual número que eleve 1,02 para dar um resultado de 1,082432 sem que se use o logaritmo.

Para resolver este problema acima teremos que aplicar logaritmo dos dois lados da igualdade  e resolver usando algumas propriedades deste tipo de função.

Não vamos neste post complicar, para que você encontre o valor de n basta que você divida o resultado do logaritmo do valor a esquerda pelo logaritmo do valor 1,02, veja abaixo.

 

 

Neste caso vamos usar o logaritmo natural (ln) que podemos encontrar com facilidade tanto na calculadora  hp 12c como em calculadoras científicas. Veja como calcular o logaritmo de 1,082432 e de 1,02 na hp 12c:

Para calcular o logaritmo de 1,082432 faça os seguintes passos na hp 12c:

1. tecle f e depois o número 6 para fixar em seis casas decimais
2. depois digite 1,082432 e tecle enter
3. por fim tecle g e em seguida ln ( que se encontra em azul na tecla %T)
4. a calculadora irá retornar o valor do ln de 1,082432
5. valor retornado pela calculadora= 0,079210

 

Veja o vídeo abaixo:

 

 

Se você não possui uma calculadora hp 12c use o simulador do link abaixo:

Simulador de HP 12c

Seguindo esses passos não tem erro, você irá encontrar o logaritmo.

Agora que você já tem o logaritmo do numerador vamos encontra o do denominador (ln de 1,02), para tanto repita os mesmos passos anteriores trocado o valor por 1,02, veja abaixo os passos na hp 12c:

 

1. tecle f e depois o número 6 para fixar em seis casas decimais
2. depois digite 1,02 e tecle enter
3. por fim tecle g e em seguida ln ( que se encontra em azul na tecla %T)
4. a calculadora irá retornar o valor do ln de ,102
5. valor retornado pela calculadora= 0,019803

 

Veja o vídeo abaixo mostrando o cálculo do logaritmo para o valor de 1,02;

 

Muito fácil não é?

Você também pode fazer o cálculo dos logaritmos usando qualquer calculadora científica. Para tanto veja o manual da calculadora.

Agora que você já possui os valores dos logaritmos vamos substituir e fazer a divisão deles para encontrar o tempo da aplicação.

Como usei 4 casas decimais o resultado deu 3,9998 meses, que podemos arredondar para 4 meses. Se tivesse usado duas casas a calculadora iria arredondar automaticamente para 4 meses.

Desta forma temos que o valor foi aplicado por 4 meses a uma taxa de 2 % ao mês, que é exatamente a solução do nosso problema.

Veja que foi bem fácil, apenas tenha atenção quando for calcular o logaritmo na calculadora, procure usar o maior número de casas para uma precisão maior no resultado.

 

 

E se você estiver estudando matemática financeira veja: Exercícios resolvidos de juros compostos

Cálculo do tempo de aplicação usando a hp 12c

Agora que você já aprendeu a fazer o cálculo usando a fórmula de juros compostos, veremos como fazer para calcular o tempo de aplicação na hp 12c, que é bem mais simples e rápido.

Para encontrar o tempo de aplicação (n) usando a hp 12c basta que você entre com os dados nas teclas financeiras e clique em n que a calculadora ira lhe retornar automaticamente o tempo da aplicação.

Todavia você tem que atentar apenas para que os sinais de PV e FV devem ser contrários quando entrar os dados. Se PV for negativo Fv deve ser positivo ou o contrário.

Segue abaixo os passos na hp 12c para resolver este mesmo problema:

1. Apague os registradores financeiros clicando em f e depois em CLx
2. tecle f e depois o número 6 para fixar em seis casas decimais
3. depois digite 10000 e tecle em PV
4. Digite 10824.32 e tecle em CHS para trocar o sinal para negativo e em seguida tecle em FV
5. Digite 2 e tecle em i
6. Por fim tecle em n e a calculadora irá fazer o calculo do tempo de aplicação retornando o valor 4,00

 

Veja o vídeo abaixo com os procedimentos:

 

 

Bem mais fácil, não é?

Uma observação importante quando estamos fazendo este cálculo usando a hp 12c é que ela sempre arredonda para mais o cálculo do tempo de aplicação.

Tenha cuidado também quando for entrar o FV e o PV pois os mesmos deve ter sinais contrários.

É isso, muito mais fácil calcular o tempo de aplicação usando a hp 12c não? caso você não tenha use o simulador online indicado anteriormente neste post.

Caso tenha alguma dúvida poste em comentário.

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